AI 02 - Histórico da Eletrônica Digital - Evolução da Lógica Booleana - Prof. Sinésio Gomes

 

 © Direitos de autor. 2004: Gomes; Sinésio Raimundo. Última atualização: 10/09/2025

AI 01 - Histórico da Eletrônica Digital - Surgimento da Lógica Booleana - Prof. Sinésio Gomes

 

 © Direitos de autor. 2004: Gomes; Sinésio Raimundo. Última atualização: 10/09/2025

Experimento 21 - Lei da Plenitude II

Com apenas a operação NOR você também pode criar a operação NOT, AND e OR. Dessa forma, a idempotência, a lei da dupla negação e a lei de De Morgan são usadas...

A Operação NOT

Com a Idempotência você obtém a operação NOT ...

¬ ( A ∨ A ) = ¬ A$$\mathrm{<span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;">\neg </span></span>}<span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;">(A </span></span><span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;">\vee \; A </span></span><span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;">) </span></span><span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;">= </span></span>\mathrm{<span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;">\neg \; A</span></span>}$$ Diagrama lógico da operação NOT com uma operação NOR.

Circuito lógico NÃO operando com uma operação NOR. ( Ampliar )

A Operação OR

Com a lei da dupla negação você obtém a operação OU ...

¬ ( ¬ ( A ∨ B ) ) = ( A ∨ B )$$\mathrm{<span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;">\neg </span></span>}<span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;">( </span></span>\mathrm{<span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;">\neg </span></span>}<span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;">(\; A </span></span><span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;">\vee </span></span>\mathrm{<span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;">B </span></span>}<span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;">) </span></span><span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;">)</span></span><span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;">=</span></span><span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;">(\; A </span></span><span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;">\vee </span></span>\mathrm{<span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;">B </span></span>}<span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;">)</span></span>$$ Diagrama lógico da operação AND com uma operação NOR.

Circuito lógico Operação OR com uma operação NOR. ( Ampliar )

A operação AND

Com a lei de De Morgan você transforma a operação NOR em uma operação AND ...

¬ ( ¬ A ∨ ¬ B ) = ( A ∧ B )$$\mathrm{<span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;">\neg </span></span>}<span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;">( </span></span>\mathrm{<span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;">\neg \; A </span></span>}<span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;">\vee </span></span>\mathrm{<span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;">\neg </span></span>}\mathrm{<span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;">B</span></span>}<span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;">) </span></span><span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;">= </span></span><span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;">(\; A </span></span><span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;">\wedge </span></span>\mathrm{<span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;">B </span></span>}<span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; style="transition:\; none;\; vertical-align:\; inherit;">)</span></span>$$ Diagrama lógico da operação AND com uma operação NOR.

Circuito lógico Operação AND com uma operação NOR. ( Ampliar )

Como você viu no último experimento, você pode converter a operação NOR em uma operação NOT, OR e AND. Isso fornece a você uma representação alternativa da álgebra booleana...

Isto tem consequências : A álgebra booleana é completamente descrita com apenas uma operação ...

• Operação NOR ,

Enquanto as leis continuarem válidas: comutativa , identidade, aniquilador ,idempotência , associativa, distributiva , de absorção , da dupla negação e Lei de Morgan.

Você pode resolver todos os problemas da álgebra booleana com apenas uma operação - NOR!

© Direitos de autor. 2023: Gomes; Sinésio Raimundo. Última atualização: 15/05/2023

Experimento 20 - Lei da Plenitude I

A característica especial da operação NAND é que você pode criar as operações NOT, AND e OR usando somente esta operação. Assim, a idempotência, a lei da dupla negação e a lei de De Morgan são usadas...

A Operação NOT

Com a Idempotência você obtém a operação NOT ...

¬ ( A ∧ A ) = ¬ A Diagrama lógico da operação NOT com uma operação NAND.

Circuito lógico NÃO operando com uma operação NAND. ( Ampliar )

A operação AND

Com a lei da dupla negação você obtém a operação AND ...

¬ ( ¬ ( A ∧ B ) ) = ( A ∧ B ) Diagrama lógico da operação AND com uma operação NAND.

Circuito lógico AND com operação NAND. ( Ampliar )

A Operação OU

Com a lei de De Morgan você pode transformar a operação NAND em uma operação OR ...

¬ ( ¬ A ∧ ¬ B ) = ( A ∨ B ) Diagrama lógico de operação OR com uma operação NAND.

Circuito lógico Operação OR com uma operação NAND. ( Ampliar )

Como você viu no último experimento, você pode converter a operação NAND em uma operação NOT, AND e OR. Isso fornece a você uma representação alternativa da álgebra booleana...

Isto tem consequências : A álgebra booleana é completamente descrita com apenas uma operação ...

• Operação NAND ,

Enquanto as leis continuarem válidas: comutativa , identidade, aniquilador ,idempotência , associativa, distributiva , de absorção , da dupla negação e Lei de Morgan.

Você pode resolver todos os problemas da álgebra booleana com apenas uma operação - NAND!

© Direitos de autor. 2023: Gomes; Sinésio Raimundo. Última atualização: 15/05/2023

Experimento 19 - Leis de Morgan

As leis de Morgan formuladas por Augustus de Morgan. Elas consistem em duas declarações que descrevem a relação entre as operações AND e OR negadas.

Primeira Lei de Morgan

A lei de Morgan da operação AND negada diz...

¬ ( A ∧ B ) = ¬ A ∨ ¬ B

Diagrama lógico da lei de Morgan da operação AND negada.

Circuito lógico da lei de Morgan da operação AND negada I. ( Ampliar )

Circuito lógico da lei de Morgan da operação AND negada II. ( Ampliar )

Segunda Lei de Morgan

A lei de Morgan da operação OR negada diz

¬ ( A ∨ B ) = ¬ A ∧ ¬ B

     

Diagrama lógico da lei de Morgan da operação OU negada.

Circuito lógico da lei de Morgan da operação OR negada I. ( Ampliar )

Circuito lógico da lei de Morgan da operação OU negada II. ( Ampliar )

As leis de Morgan têm aplicações importantes. Elas são usadas em circuitos digitais para simplificar problemas lógicos e trocar portas lógicas umas contra as outras. Mais sobre isso depois...

Lógica As leis de Morgan foram formuladas na década de 1850 no contexto da álgebra booleana. No entanto, a lógica já era conhecida pelos gregos ( Aristóteles ) há mais de 2000 anos...

© Direitos de autor. 2023: Gomes; Sinésio Raimundo. Última atualização: 15/05/2023

Experimento 18 - Lei Complementar

A lei complementar descreve as operações AND e OR de uma variável com a variável invertida correspondente.

Operação E

A lei complementar de uma operação AND diz...

A ∧ ¬ A = 0

     

Diagrama lógico lei complementar da operação AND.

Lei complementar do circuito lógico de uma operação AND. ( Ampliar )

Operação OU

A lei complementar de uma operação OU diz...

A ∨ ¬ A = 1

Diagrama lógico lei complementar da operação OU.

Lei complementar do circuito lógico de uma operação OU. ( Ampliar )

Comparação Aritmética - Álgebra Booleana A lei complementar se aplica à adição ... x + ( − x ) = 0 A lei complementar não se aplica à multiplicação

© Direitos de autor. 2023: Gomes; Sinésio Raimundo. Última atualização: 15/05/2023