A álgebra booleana refere-se ao uso de regras específicas para simplificar e resolver funções lógicas. Eles são divididos em postulados básicos, propriedades e um único teorema e se aplicam tanto à adição lógica quanto à multiplicação lógica.
1 - Postulados fundamentais. Refere-se às operações de uma variável realizadas com os valores 0, 1 e consigo mesma. Existem 5 postulados:
1.1 - Identidade: Refere-se a um elemento que, somado ou multiplicado por uma variável, resulta na mesma variável. No caso de adição lógica o valor do elemento identidade é zero (A + 0 = A) e no caso de multiplicação lógica o valor do elemento identidade é um (A · 1 = A). O elemento de identidade também é conhecido como elemento neutro.
1.2 - Dominação: Refere-se à operação onde a variável é somada ou multiplicada por um determinado elemento e o resultado é o mesmo elemento. No caso de adição lógica o elemento tem valor um (A + 1 = 1) e no caso de multiplicação lógica o elemento tem valor zero (A · 0 = 0).
1.3 - Idempotência: Refere-se à situação em que uma variável é somada diversas vezes consigo mesma ou multiplicada diversas vezes consigo mesma e o resultado é a mesma variável. No caso de adição lógica A + A + ··· + A = A e no caso de multiplicação lógica A · A ··· · A = A.
1.4 - Complemento: Se você pegar uma variável e adicioná-la com seu complemento, o resultado será sempre um (A + A' = 1), e você pegar uma variável e multiplicá-la por seu complemento, o resultado será sempre zero (A · A '=0).
1.5 - Involução: Refere-se à operação realizada sobre uma variável onde o resultado é a mesma variável. Em funções lógicas, esta operação é de dupla negação, portanto, se uma variável for tomada e negada duas vezes, o resultado será a mesma variável, e se uma variável for tomada e negada for negada duas vezes, o resultado será a variável negada.
Na tabela acima estão os postulados básicos representados por portas. O diagrama elétrico para verificação dos postulados está disponível em: 25_03_06 - Postulados de portas lógicas.
2 - Propriedades. Referem-se às propriedades comutativas, associativas e distributivas. São basicamente as mesmas propriedades da matemática geral.
2.1 - Comutativa: A ordem dos elementos não afeta o resultado, ou seja, A + B é igual a B + A.
2.2 - Associativa: Refere-se ao fato de que não importa como os termos sejam agrupados, o resultado é o mesmo. No caso da adição A + (B + C) = (A + B) + C e no caso da multiplicação A · (B · C) = (A · B) · C.
2.3 - Distributiva: Refere-se ao fato de que o resultado de uma variável multiplicado pela soma de duas ou mais adendas é igual ao resultado da soma dos produtos da variável com cada uma das adendas: A · (B + C + · · ·) = A · B + A · C + ··· . Algo interessante é que por serem funções lógicas, essa propriedade tem seu dual, ou seja, o resultado de uma variável somada com a multiplicação de dois ou mais multiplicandos é igual ao resultado da multiplicação da soma da variável por cada um dos multiplicandos : A + B · C · ... = (A + B) · (A + C) · ...
Na tabela acima estão as propriedades representadas com portas.
O diagrama elétrico para verificação das propriedades comutativas e associativas está disponível em: 25_03_06 - Propriedades Associativas de portas lógicas.
Já o diagrama elétrico para verificação das propriedades distributiva está disponível em: 25_03_07 - Propriedades Distributivas de portas lógicas.
3 - Teorema de De Morgan: Refere-se a uma transformação que é realizada em uma operação lógica e, como tal, ajuda a simplificar funções lógicas. A lei de De Morgan diz que o resultado de uma adição lógica com sua saída negada é o mesmo que o resultado de uma multiplicação lógica com suas entradas negadas, da mesma forma que o resultado de uma multiplicação lógica com sua saída negada é igual a uma soma lógica com sua entradas negadas. Isso se aplica a n entradas.
Na tabela acima está a lei de De Morgan para duas entradas representadas por portas. O diagrama elétrico para verificação do teorema de De Morgan disponível em: 25_03_08 - Teoremas de De Morgan de portas lógicas.
Resumo de Álgebra Booleana com postulados. propriedades e teorema está disponível em: 25_01_02 Álgebra de Boole II SRG.
© Direitos de autor. 2021: Gomes; Sinésio Raimundo. Última atualização: 01/04/2021 .
